我有一个以(0,0)为中心的椭圆，边界矩形是x = [-5,5]，y = [-6,6]。椭圆在(-5,3)，(-2.5,6)，(2.5，-6)和(5，-3)处与矩形相交

我对椭圆一无所知，但我唯一需要知道的是主轴旋转的角度。

答案似乎必须非常简单，但我只是看不到...谢谢帮助！

解决方案

椭圆的坡度与沿椭圆的一侧具有边界矩形的相交的坡度相同。在情况下，这是椭圆上侧从(-2.5,6)到(5，-3)的线。那条线的垂直下落为9，水平走向为7.5.

因此，我们得到了以下直角三角形。

(-2.5,6)
  *-----
  |\x
  | \
  |  \
9 |   \
  |    \
  |    x\
  +------* (5,-3)
    7.5

我们要寻找的角度是x，这两个位置都相同。

我们可以将其计算为：

-1
tan   (9/7.5)

这给我们带来了-50.19度的角度

如果(0，0)是中心，则椭圆方程为：

F(x，y)= Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cxy + D = 0

对于任何给定的椭圆，并非唯一确定所有系数A，B，C和D。可以将方程乘以任何非零常数，并获得具有相同椭圆的新方程。

我们拥有4个点，为我们提供4个方程，但是由于这些点是两对对称点，因此这些方程将不会独立。我们将获得2个独立方程式。通过使用以下事实，可以得到另外2个等式，即椭圆与软管点中的矩形相切(这就是我的理解方式)。

因此，如果F(x，y)= Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cxy + D条件是：
dF / dx = 0(-2.5,6)和(2.5，-6)点
dF / dy = 0(-5,3)和(5，-3)点

这是我们得到的四个线性方程式

F(5, -3) = 5^2 * A + (-3)^2 * B + (-15) * C + D = 0  
F(2.5, -6) = (2.5)^2 * A + (-6)^2 * B + (-15) * C + D = 0  
dF(2.5, -6)/dx = 2*(2.5) * A + (-6) * C = 0  
dF(5, -3)/dy = 2*(-3) * B + 5 * C = 0

经过一些清洁：

25A +  9B - 15C + D = 0 //1
6.25A + 36B - 15C + D = 0 //2
   5A       -  6C     = 0 //3
      -  6B +  5C     = 0 //4

仍然不是所有的四个方程都是独立的，这是一件好事。该集合是齐次的，如果它们是独立的，则将得到唯一但无用的解决方案A = 0，B = 0，C = 0，D = 0。

正如我之前所说，系数不是唯一确定的，因此我们可以根据自己的喜好设置系数之一，并摆脱一个方程式。例如

25A + 9B - 15C = 1 //1
   5A      -  6C = 0 //3
      - 6B +  5C = 0 //4

从中得出：A = 4/75，B = 1/27，C = 2/45(D当然是-1)

现在，要确定角度，请应用坐标变换：

x = ξcos(φ) - ηsin(φ)
y = ξsin(φ) + ηcos(φ)

(我只是忍不住使用这些字母：))
到方程F(x，y)= 0

F(x(ξ, η), y(ξ, η)) = G(ξ, η) =
  A (ξ^2cos^2(φ) + η^2sin^2(φ) - 2ξηcos(φ)sin(φ))
+ B (ξ^2sin^2(φ) + η^2cos^2(φ) + 2ξηcos(φ)sin(φ))
+ C (ξ^2cos(φ)sin(φ) - η^2cos(φ)sin(φ) + ξη(cos^2(φ) - sin^2(φ))) + D

使用这两个身份：

2cos(φ)sin(φ) = sin(2φ)
cos^2(φ) - sin^2(φ) = cos(2φ)

我们将得到在G(，)中乘积的系数C'为：

C'=(B-A)sin(2)+ Ccos(2)

现在问题是：什么角度系数C'消失(等于零)
角度不止一个，因为轴不止一个。如果主轴B'> A'

• 设置椭圆的角度= 0
• 计算交叉点的4个点
• 算出计算出的相交点与所需相交点之间的误差(即将4个距离相加)。
• 如果误差太大，请使用割线法或者牛顿-拉普森法计算出椭圆的新角度，然后转到2.

我使用了类似的方法来解决另一个椭圆问题：

http://successfulsoftware.net/2008/07/18/a-mathematical-digression/

http://successfulsoftware.net/2008/08/25/a-mathematical-digression-revisited/

也可以看看：

http://en.wikipedia.org/wiki/Secant_method

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_Rhapson