如果椭圆的主轴是垂直或者水平，则很容易计算边界框，但是旋转椭圆时会怎样呢？

到目前为止，我唯一想到的方法是计算周长周围的所有点，并找到最大/最小x和y值。似乎应该有一个更简单的方法。

如果有一个函数(在数学意义上)以任意角度描述椭圆，那么我可以使用其导数来找到斜率为零或者未定义的点，但是我似乎找不到一个。

编辑：为澄清起见，我需要与轴对齐的边界框，即它不应与椭圆一起旋转，但应与x轴保持对齐，因此变换边界框将不起作用。

解决方案

回答

我认为最有用的公式就是这个。从原点以phi角度旋转的省略号具有以下公式：

其中(h，k)是中心，a和b的长轴和短轴的大小以及t在-pi到pi之间变化。

由此，我们应该能够得出t dx / dt或者dy / dt变为0的原因。

回答

我们可以对以任意角度旋转的椭圆尝试使用参数化方程：

x = h + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi)  [1]
y = k + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi)  [2]

...椭圆具有中心(h，k)半长轴a和半短轴b，并旋转角度phi。

然后可以区分并求解梯度= 0：

0 = dx/dt = -a*sin(t)*cos(phi) - b*cos(t)*sin(phi)

=>

tan(t) = -b*tan(phi)/a   [3]

哪个应该为我们提供许多t的解决方案(我们感兴趣的两个)，然后将其重新插入[1]以获取max和min x。

重复[2]：

0 = dy/dt = b*cos(t)*cos(phi) - a*sin(t)*sin(phi)

=>

tan(t) = b*cot(phi)/a  [4]

让我们尝试一个例子：

考虑一个椭圆(0,0)且a = 2，b = 1的椭圆，旋转了PI / 4：

[1] =>

x = 2*cos(t)*cos(PI/4) - sin(t)*sin(PI/4)

[3] =>

tan(t) = -tan(PI/4)/2 = -1/2

=>

t = -0.4636 + n*PI

我们对t = -0.4636和t = -3.6052有兴趣

这样我们得到：

x = 2*cos(-0.4636)*cos(PI/4) - sin(-0.4636)*sin(PI/4) = 1.5811

和

x = 2*cos(-3.6052)*cos(PI/4) - sin(-3.6052)*sin(PI/4) = -1.5811

回答

这相对简单，但由于我们没有给我们提供椭圆的表示方式，因此很难解释。有很多方法可以做到这一点。

无论如何，一般原理是这样的：我们无法直接计算轴对齐的边界框。但是，我们可以将x和y中的椭圆的极值计算为2D空间中的点。

为此，将等式x(t)= ellipse_equation(t)和y(t)= ellipse_equation(t)就足够了。得到它的一阶导数并为它的根求解。由于我们要处理的是基于三角学的椭圆，这很简单。我们应该以一个方程式结束，该方程式可以通过atan，acos或者asin求根。

提示：要检查代码，请尝试使用未旋转的椭圆：根应该为0，Pi / 2，Pi和3 * Pi / 2.

对每个轴(x和y)执行此操作。我们最多将获得四个根(如果椭圆退化了则更少，例如半径之一为零)。求出根部的位置，即可得到椭圆的所有极限点。

现在我们快到了。获取椭圆的边界框就像扫描这四个点的xmin，xmax，ymin和ymax一样简单。

顺便说一句，如果我们在查找椭圆方程时遇到问题：请尝试将其简化为具有中心，两个半径和围绕中心的旋转角度的椭圆对齐的轴。

如果这样做，则等式变为：

// the ellipse unrotated:
  temp_x (t) = radius.x * cos(t);
  temp_y (t) = radius.y = sin(t);

  // the ellipse with rotation applied:
  x(t) = temp_x(t) * cos(angle) - temp_y(t) * sin(angle) + center.x;
  y(t) = temp_x(t) * sin(angle) + temp_y(t) * cos(angle) + center.y;