Pandas 文档中的“广播”一词是什么意思？
声明：本页面是StackOverFlow热门问题的中英对照翻译，遵循CC BY-SA 4.0协议，如果您需要使用它，必须同样遵循CC BY-SA许可，注明原文地址和作者信息，同时你必须将它归于原作者（不是我）：StackOverFlow
原文地址: http://stackoverflow.com/questions/29954263/
Warning: these are provided under cc-by-sa 4.0 license. You are free to use/share it, But you must attribute it to the original authors (not me):
StackOverFlow
What does the term "broadcasting" mean in Pandas documentation?
提问by Dun Peal
I'm reading through the Pandas documentation, and the term "broadcasting" is used extensively, but never really defined or explained.
我正在阅读 Pandas 文档，“广播”一词被广泛使用，但从未真正定义或解释过。
What does it mean?
这是什么意思？
回答by EdChum
So the term broadcastingcomes from numpy, simply put it explains the rules of the output that will result when you perform operations between n-dimensional arrays (could be panels, dataframes, series) or scalar values.
所以术语广播来自numpy，简单地说，它解释了当您在 n 维数组（可以是面板、数据帧、系列）或标量值之间执行操作时将产生的输出规则。
Broadcasting using a scalar value
使用标量值进行广播
So the simplest case is just multiplying by a scalar value:
所以最简单的情况就是乘以一个标量值：
In [4]:
s = pd.Series(np.arange(5))
s
Out[4]:
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
dtype: int32
In [5]:
s * 10
Out[5]:
0 0
1 10
2 20
3 30
4 40
dtype: int32
and we get the same expected results with a dataframe:
我们使用数据框获得相同的预期结果：
In [6]:
df = pd.DataFrame({'a':np.random.randn(4), 'b':np.random.randn(4)})
df
Out[6]:
a b
0 0.216920 0.652193
1 0.968969 0.033369
2 0.637784 0.856836
3 -2.303556 0.426238
In [7]:
df * 10
Out[7]:
a b
0 2.169204 6.521925
1 9.689690 0.333695
2 6.377839 8.568362
3 -23.035557 4.262381
So what is technically happening here is that the scalar value has been broadcastedalong the same dimensions of the Series and DataFrame above.
所以这里在技术上发生的事情是标量值已经沿着上面的 Series 和 DataFrame 的相同维度进行广播。
Broadcasting using a 1-D array
使用一维数组进行广播
Say we have a 2-D dataframe of shape 4 x 3 (4 rows x 3 columns) we can perform an operation along the x-axis by using a 1-D Series that is the same length as the row-length:
假设我们有一个形状为 4 x 3（4 行 x 3 列）的二维数据框，我们可以使用与行长度相同的一维系列沿 x 轴执行操作：
In [8]:
df = pd.DataFrame({'a':np.random.randn(4), 'b':np.random.randn(4), 'c':np.random.randn(4)})
df
Out[8]:
a b c
0 0.122073 -1.178127 -1.531254
1 0.011346 -0.747583 -1.967079
2 -0.019716 -0.235676 1.419547
3 0.215847 1.112350 0.659432
In [26]:
df.iloc[0]
Out[26]:
a 0.122073
b -1.178127
c -1.531254
Name: 0, dtype: float64
In [27]:
df + df.iloc[0]
Out[27]:
a b c
0 0.244146 -2.356254 -3.062507
1 0.133419 -1.925710 -3.498333
2 0.102357 -1.413803 -0.111707
3 0.337920 -0.065777 -0.871822
the above looks funny at first until you understand what is happening, I took the first row of values and added this row-wise to the df, it can be visualised using this pic (sourced from scipy):
上面的内容起初看起来很有趣，直到您明白发生了什么，我取了第一行值并将其逐行添加到 df 中，可以使用此图片进行可视化（来自scipy）：
The general rule is this:
一般规则是这样的：
In order to broadcast, the size of the trailing axes for both arrays in an operation must either be the same size or one of them must be one.
为了进行广播，操作中两个数组的尾随轴的大小必须相同，或者其中之一必须是一。
So if I tried to add a 1-D array that didn't match in length, say one with 4 elements, unlike numpy which will raise a ValueError, in Pandas you'll get a df full of NaNvalues:
因此，如果我尝试添加一个长度不匹配的一维数组，比如说一个有 4 个元素的数组，不像 numpy 会引发 a ValueError，在 Pandas 中你会得到一个充满NaN值的 df ：
In [30]:
df + pd.Series(np.arange(4))
Out[30]:
a b c 0 1 2 3
0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
1 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
2 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
3 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
Now some of the great things about pandas is that it will try to align using existing column names and row labels, this can get in the way of trying to perform a fancier broadcasting like this:
现在关于 Pandas 的一些伟大的事情是它会尝试使用现有的列名和行标签对齐，这可能会妨碍像这样执行更高级的广播：
In [55]:
df[['a']] + df.iloc[0]
Out[55]:
a b c
0 0.244146 NaN NaN
1 0.133419 NaN NaN
2 0.102357 NaN NaN
3 0.337920 NaN NaN
In the above I use double subscripting to force the shape to be (4,1) but we see a problem when trying to broadcast using the first row as the column alignment only aligns on the first column. To get the same form of broadcasting to occur like the diagram above shows we have to decompose to numpy arrays which then become anonymous data:
在上面我使用双下标将形状强制为 (4,1) 但我们在尝试使用第一行广播时遇到问题，因为列对齐仅在第一列上对齐。为了获得上图所示的相同形式的广播，我们必须分解为 numpy 数组，然后成为匿名数据：
In [56]:
df[['a']].values + df.iloc[0].values
Out[56]:
array([[ 0.24414608, -1.05605392, -1.4091805 ],
[ 0.13341899, -1.166781 , -1.51990758],
[ 0.10235701, -1.19784299, -1.55096957],
[ 0.33792013, -0.96227987, -1.31540645]])
It's also possible to broadcast in 3-dimensions but I don't go near that stuff often but the numpy, scipy and pandas book have examples that show how that works.
也可以在 3 维中进行广播，但我不经常接近那些东西，但是 numpy、scipy 和 pandas 书中的示例展示了它是如何工作的。
Generally speaking the thing to remember is that aside from scalar values which are simple, for n-D arrays the minor/trailing axes length must match or one of them must be 1.
一般来说，要记住的是，除了简单的标量值之外，对于 nD 数组，次轴/尾轴长度必须匹配或其中之一必须为 1。
Update
更新
it seems that the above now leads to ValueError: Unable to coerce to Series, length must be 1: given 3in latest version of pandas 0.20.2
似乎以上现在导致ValueError: Unable to coerce to Series, length must be 1: given 3最新版本的Pandas0.20.2
so you have to call .valueson the dffirst:
所以你必须调用.values第df一个：
In[42]:
df[['a']].values + df.iloc[0].values
Out[42]:
array([[ 0.244146, -1.056054, -1.409181],
[ 0.133419, -1.166781, -1.519908],
[ 0.102357, -1.197843, -1.55097 ],
[ 0.33792 , -0.96228 , -1.315407]])
To restore this back to the original df we can construct a df from the np array and pass the original columns in the args to the constructor:
要将其恢复到原始 df 我们可以从 np 数组构造一个 df 并将 args 中的原始列传递给构造函数：
In[43]:
pd.DataFrame(df[['a']].values + df.iloc[0].values, columns=df.columns)
Out[43]:
a b c
0 0.244146 -1.056054 -1.409181
1 0.133419 -1.166781 -1.519908
2 0.102357 -1.197843 -1.550970
3 0.337920 -0.962280 -1.315407
回答by thomas
Broadcasting on Pandas DataFrames with MultiIndex
使用 MultiIndex 在 Pandas DataFrames 上广播
Broadcasting is especially interesting with DataFrames which have a pandas.MultiIndexas I show you in the following example.
广播对于DataFrames尤其有趣，pandas.MultiIndex我在下面的示例中向您展示了具有 a 的 s 。
Pandas makes it possible to broadcast over the dimensions added via a multidimensional and even hierarchical index, and this is very powerfull, if you know how to use it. You don't need to code your loops and conditions. You can rely on what works already.
Pandas 可以广播通过多维甚至分层索引添加的维度，如果您知道如何使用它，这非常强大。您不需要对循环和条件进行编码。您可以依赖已经有效的方法。
I filled two pandas.DataFrames, afand dfwith a pandas.MultiIndexon the 0-axis (the index) and 10 columns labeled with integeres refering for example to scenario data from a Monte-Carlo simulation.
我填充2 pandas.DataFrames，af和df用pandas.MultiIndex在0轴（指数）和标记有integeres从蒙特卡罗模拟闯民宅例如到脚本数据10列。
The pandas.MultiIndexes of the afand dfshare some common levelsin the names(I call them dimensions). Not all labels(newer pandas versions call them codes) need to be in the matching dimensions. In the example, the dimensions 'a' and 'c' are shared. In both frames the 'a'-dimensions has the entries (labels) ['A' and 'B'], whereas in the 'c' dimension the frames afand bfhave the entries [0, 1, 2, 3]and [0, 1, 2]respectively.
该pandas.MultiIndex的ESaf和df分享一些共同levels的names（我称他们为维）。并非所有labels（较新的 Pandas 版本称之为codes）都需要在匹配的维度中。在示例中，尺寸“a”和“c”是共享的。在这两个帧中的“A'的尺寸具有条目（labels）[” A”和‘B’]，而在‘C’的尺寸帧af和bf具有条目[0, 1, 2, 3]和[0, 1, 2]分别。
Nonetheless, Broadcasting works fine. Which means in the following example, when multiplying the two frames, a group-wise multiplication for each group with matching entries in the matching dimensions is performed.
尽管如此，广播工作正常。这意味着在下面的示例中，当将两个帧相乘时，将对具有匹配维度中的匹配条目的每个组执行分组乘法。
The following example shows broadcasting on multiplications, but it works for all binary operations between pandas.DataFrameson the left- and right-hand side.
以下示例显示乘法广播，但它适用于pandas.DataFrames左侧和右侧之间的所有二元运算。
Some observations
一些观察
Note, that both frames can have additional dimensions. It is not necessary that one set of names is a subset of the other. In the example we have ['a', 'b', 'c']and ['a', 'c', 'd']for the afand bfframes respectively
请注意，两个框架都可以有额外的尺寸。一组名称不必是另一组名称的子集。在这个例子中，我们分别有['a', 'b', 'c']和['a', 'c', 'd']用于af和bf框架
The result spans up the whole space, as expected: ['a', 'b', 'c', 'd']
正如预期的那样，结果跨越了整个空间： ['a', 'b', 'c', 'd']
Since dimension 'c' does not have the entry (code) '3' in frame bf, whereas afhas, the result fills the resulting block with NaNs.
由于维度 'c'code在 frame中没有条目 ( ) '3' bf，而af有，结果用NaNs填充结果块。
Note, that pandas 1.0.3 has been used here. Broadcasting with more then one overlapping dimensions did not work with pandas version 0.23.4.
请注意，这里使用了 pandas 1.0.3。多于一个重叠维度的广播不适用于 Pandas 0.23.4 版。
Broadcasting over the 0-axis and the 1-axis at the same time does also work. See the last two examples. For example, if you would like to multiply the afwith only bf[0].to_frame(), the first scenario. But it will only be applied to the equally labeled columns (as broadcasting is intended).
同时在 0 轴和 1 轴上广播也有效。请参阅最后两个示例。例如，如果您想将af与 only相乘，则为bf[0].to_frame()第一种情况。但它只会应用于相同标记的列（如广播的目的）。
Further Hints
进一步提示
If you want to multiply the afframe with a column vector (I need to apply some weights sometimes with additional dimensions), then you can easily implement it yourself. You can expand your dataframe to n = af.shape[1]columns and use then that one for multiplication. Have a look at numpy.tileon how to do it 'without' coding.
如果您想将af框架与列向量相乘（有时我需要应用一些带有额外维度的权重），那么您可以轻松地自己实现它。您可以将数据框扩展为n = af.shape[1]列，然后使用该列进行乘法。看看numpy.tile如何在“没有”编码的情况下做到这一点。
>>> af
Values 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a b c
A a 0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
3 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
b 0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
3 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
c 0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
3 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
B a 0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
3 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
b 0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
3 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
c 0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
1 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
3 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
>>> bf
Values 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a c d
A 0 * 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
# 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
1 * 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
# 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
2 * 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
# 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
B 0 * 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
# 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
1 * 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
# 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
2 * 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
# 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
>>> af * bf
Values 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a c b d
A 0 a * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
b * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
c * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
1 a * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
b * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
c * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
2 a * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
b * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
c * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
3 a NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
B 0 a * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
b * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
c * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
1 a * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
b * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
c * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
2 a * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
b * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
c * 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
# 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0
3 a NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
>>> af * bf[0] # Raises Error: ValueError: cannot join with no overlapping index names
# Removed that part
>>> af * bf[0].to_frame() # works consistently
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a c b d
A 0 a * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
1 a * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
2 a * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
3 a NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
B 0 a * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
1 a * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
2 a * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
3 a NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
>>> cf = bf[0].to_frame()
>>> cf.columns = [3]
>>> af * cf # And as expected we can broadcast over the same column labels at the same time
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a c b d
A 0 a * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
1 a * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
2 a * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
3 a NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
B 0 a * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
1 a * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
2 a * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c * NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
# NaN NaN NaN 6.0 NaN NaN NaN NaN NaN NaN
3 a NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
b NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
c NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
