我正在研究一个几何问题，该问题要求在任何旋转中都找到两个抛物线的交点。通过旋转平面以使圆弧与轴对齐，我能够检测直线和抛物线弧，但是两个抛物线不能同时与轴对齐。我正在努力推导公​​式，但是我想知道是否已经有可用的资源。

解决方案

首先，我要定义不带旋转的2D抛物线弧方程：

x(t) = ax2 + bx + c
  y(t) = t;

现在，我们可以通过构建旋转矩阵来应用旋转：

s = sin(angle)
  c = cos(angle)

  matrix = | c -s |
           | s  c |

应用该矩阵，我们将获得旋转的参数方程式：

x' (t) = x(t) * c - s*t;
y' (t) = x(t) * s + c*t;

这将为我们提供抛物线弧的两个方程式(对于x和y)。

对两个旋转圆弧都这样做，然后减去它们。这为我们提供了一个等式：

xa'(t) = rotated equation of arc1 in x
  ya'(t) = rotated equation of arc1 in y.
  xb'(t) = rotated equation of arc2 in x
  yb'(t) = rotated equation of arc2 in y.
  t1 = parametric value of arc1
  t2 = parametric value of arc2

  0 = xa'(t1) - xb'(t2)
  0 = ya'(t1) - yb'(t2)

这些方程式中的每一个只是2阶多项式。这些很容易解决。

要找到相交点，我们可以求解上述方程式(例如，找到根)。

每个轴最多可以有两个根。 x和y相等的任何根都是曲线之间的交点。

现在轻松获得位置：只需将根插入参数方程式，就可以直接获得x和y。

不幸的是，一般的答案需要四阶多项式的解。如果我们转换坐标，以使两个抛物线之一处于标准形式y = x ^ 2，则第二个抛物线满足(ax + by)^ 2 + cx + dy + e == 0。要找到交点，请同时解决这两个问题。代入y = x ^ 2，我们看到结果是四阶多项式：(ax + bx ^ 2)^ 2 + cx + dx ^ 2 + e == 0。因此，Nils解决方案将不起作用(他的错误：每个变量分别是每个变量中的2阶多项式，但在一起却不是)。