令X为不包含自身的所有集合的集合。 X是X的成员吗？

解决方案

回答

这个问题在标准的ZFC(Zermelo-Fraenkel +选择公理)集合论中是不合适的，因为这样定义的对象不是集合。

由于(再次假设使用标准ZFC)类{x：x \ not \ in x}不是集合，答案为否，因为它本身不是元素(即使是类)，因为只有集合可以是类的元素或者套。

顺便说一句，一旦我们同意基础公理，就不会有任何集合是其本身的要素。

当然，关于数学的好处是，我们可以选择所需的任何公理:)，但相信悖论只是怪异的。

回答

在ZFC中，基础公理(如上所述)或者理解公理(方案)都将禁止这种情况。首先，出于明显的原因；第二，因为它基本上说对于给定的z和一阶属性P，我们可以构造{xz：P(x)}，但是要生成Russell集，则需要z = V(所有集的类) ，这不是集合(即无法从任何给定的公理生成)。

在新基金会(NF)中，" x？x"不是分层公式，因此我们也无法定义Russell集。但是，有些有趣的是，V是NF中的一个集合。

在冯·诺依曼-贝纳斯-格德尔集理论(NBG)中，类R = {x：x是一个集合，x？ x}是可定义的。然后我们问是否R R;如果是这样，那么也R？ R，给个矛盾。因此我们必须有R？ R。但是这里没有矛盾，因为对于任何给定的A，A级？ R表示A A或者A是适当的类。由于R？ R，我们必须简单地使R是一个适当的类。

当然，类R = {x：x？没有限制，x}在NBG中根本无法定义。

还要注意的是，以上过程在NBG中可以作为形式证明，而在ZFC中则必须诉诸于元推理。

回答

我见过的最优雅的证明非常类似于罗素的悖论。

定理(我想是康托尔)。
令X为一个集合，令2 ^ X为其子集。然后card(X)<card(2 ^ X)。

证明。当然card(X)<= card(2 ^ X)，因为在X和2 ^ X中的单例之间存在平凡的双射。我们必须证明card(X)！= card(2 ^ X)。

假设在X和2 ^ X之间存在双射。然后，将X中的每个xk映射到2 ^ X中的集合Ak。

• x1-> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

对于每个xk，机会是：xk属于Ak，否则不属于。令M为所有不属于其对应集合Ak的所有xk的集合。 M是X的子集，因此必须存在X的元素m，该元素通过双射映射到M。

m属于M吗？如果是，则不是，因为M是不属于其映射到的集合的那些x的集合。如果不是，则为x，因为M包含所有这样的x。该矛盾源于存在双射的假设。因此，不存在双射，两个基数不同，并且证明了该定理。